70. 爬楼梯

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题目

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例1：

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输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶

示例2：

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输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

提示：

1
1 <= n <= 45

解法：

解法一：计算Fibonacci数列项

爬一个台阶有一种方法，两个台阶有两种方法，那么三个台阶就有1（爬一个台阶） + 2（爬两个台阶）= 3种方法，依次类推，f(n) = f(n -1) + f(n - 2)。很明显，这是一个求fibonacci数列的问题。

Java

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public int climbStairs(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    } else if (n == 2) {
        return 2;
    } else {
        return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
    }
}

提交之后，发现运行超时，那明显，就是计算量过大，于是，需要将中间计算的结果保存起来。

Java

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public int climbStairs(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    } else if (n == 2) {
        return 2;
    }
		
    int begin = 3;
    int f1 = 1;
    int f2 = 2;
    int f3 = 0;
    while (begin <= n) {
        f3 = f1 + f2;
        f1 = f2;
        f2 = f3;
        begin++;
    }
    return f3;
}

解法二：动态规划

从题目可知，走到第N级台阶有两种方法，从N-1级台阶过来，或者从N-2级台阶过来。那么走到dp[N]的总台阶数就是从dp[N-1]或者从dp[N-2]台阶过来的总数和。

状态转移方程就是

dp[1] = 1;

dp[2] = 2; // 从第一步，到第二步；直接到第二步

dp[N] = dp[N-1] + dp[n-2]

Java

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public int climbStairs(int n) {
		if (n == 1) {
			return 1;
		}
		
		if (n == 2) {
			return 2;
		}
		int[] dp = new int[n + 1];
		dp[1] = 1;
		dp[2] = 2;
		for (int i = 3;i <= n;i++) {
			dp[i] = dp[i - 1] + dp[i -2];
		}
		return dp[n];
	}

解法三：使用fibonacci公式，求对应项

公式说明

Java

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public int climbStairs(int n) {
        double sqrt5=Math.sqrt(5);
        double fibn=Math.pow((1+sqrt5)/2,n+1)-Math.pow((1-sqrt5)/2,n+1);
        return (int)(fibn/sqrt5);
    }
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